L'introduction des catégories par Eilenberg et MacLane en 1942 avait pour but de transformer de difficiles problèmes de Topologie en problèmes plus abordables d'Algèbre. Plus tard, la Théorie des Catégories s'est beaucoup développée, à la fois pour elle-même et pour ses applications dans les domaines les plus variés des Mathématiques (e.g. en Géométrie Différentielle). Même si une partie de son développement autonome a parfois été critiquée comme "abstract non-sense", les catégories sont maintenant reconnues comme un langage puissant pour développer une sémantique universelle des structures mathématiques. On les utilise aussi (via la théorie des topos) en Logique et plus récemment en Physique, et une collaboration fructueuse semble se développer entre catégoriciens et informaticiens.

Rosen a introduit les catégories en Biologie dès 1958 et, à sa suite, divers auteurs ont utilisé de "grandes" catégories de différents systèmes. L'application des catégories aux systèmes complexes que nous développons dans la théorie des Systèmes Evolutifs avec Mémoire est d'un type plus structurel et repose sur la théorie des colimites et des "complétions" de catégories.

 

 

 Définition d'une catégorie

Intuitivement une catégorie est juste un graphe orienté sur lequel on s'est donné une loi pour composer des flèches consécutives, vérifiant certains axiomes.

  Un graphe (aussi appelé graphe orienté, ou schéma de diagramme, ou polygraphe) est formé d'un ensemble d'objets, appelés sommets du graphe, avec des liens entre eux, représentés par des flèches d'un sommet A vers un sommet B, ce qu'on note f : A ® B ; on dit que A est la source de la flèche, et B son but. Il peut y avoir plusieurs flèches de même source et de même but (on les dit "parallèles") et il peut y avoir des flèches "fermées", dont la source et le but sont confondus.

Deux flèches f, g sont dites consécutives si le but de la première est en même temps la source de la seconde: f: A ® B, g: B ® C. On dit alors qu'elles forment un chemin de longueur 2 de A vers C. Plus généralement, un chemin (de longueur n) de A vers A' est une suite (f1, f2, ...,fn) de n flèches consécutives

f1: A ® A1, f2: A1 ® A2, ... , fn: An-1 ® B.

 

Une catégorie est un graphe dans lequel on définit une composition de flèches, associant à tout chemin (f,g) de longueur 2 de A vers C une flèche du graphe de A vers C, dite composée du chemin, et notéc fg . Cette composition vérifie les conditions suivantes:

- Associativité. Si (f, g, h) est un chemin de longueur 3, les deux composés f (gh) et (fg)h qu'on en déduit sont égaux (on les note fgh). Il s'ensuit qu'à tout chemin de longueur n est aussi associé un seul composé. (Invariance de l'itinéraire)

- Identités: A tout sommet A est associée une flèche fermée de A vers A, dite identité de A et notée ldA, dont le composé avec une flèche de source ou de but A est égal à cette autre flèche.

Les sommets du graphe sont aussi appelés objets de la catégorie et ses flèches morphismes (ou simplement liens). Une flèche f est un isomorphisme s'il existe une flèche g (dite son inverse) telle que les composés fg et gf soient des identités (cet inverse est alors unique).

  Ainsi une catégorie est formée par des objets (les sommets du graphe) et des liens entre eux (les flèches ou morphismes), mais l'idée essentielle est de privilégier les liens sur les objets. En fait, le succès des catégories dans les domaines les plus variés est dû à la richesse des informations sur les objets qui peuvent être déduites de la seule considération des liens et des opérations sur ceux-ci, quelle que soit la nature et l'anatomie de ces objets. 

 

 

Catégorie modélisant l'état d'un système

Dans notre modèle, l'état d'un système naturel à un instant donné t est modélisé par une catégorie: ses objets représentent les composants (de tous niveaux) du système, et les liens entre objets représentent leurs interactions dans le système à cet instant. Ces liens peuvent, selon le cas, représenter des liens structuraux plus ou moins invariants tels des relations topologiques ou causales (e.g., desmosomes entre deux cellules contiguës), ou des canaux transmettant des informations de toute nature: contraintes spatiales, temporelles, énergétiques, ou des connexions labiles, correspondant à une interaction temporaire entre deux objets

Ainsi un objet N joue un double rôle:

1. Il agit comme un agent causatif, ou comme un émetteur, via ses liens vers les autres objets qui représentent ses actions, ou les messages qu'il envoie.

2. Il devient un récepteur, ou un observateur, via les liens qui y arrivent, qui correspondent aux aspects qu'il observe, ou aux messages qu'il reçoit, ou aux contraintes qu'on lui impose. Dans un système biologique, l'identité d'un objet correspond à son 'soi'.

Le composé de 2 flèches consécutives N ® N' et N' ® N" représente l'interaction entre N et N" obtenue en considérant d'abord l'interaction de N sur N', puis celle de N' sur N". La composition des liens avec son associativité traduit la transitivité des messages; elle détermine des classes de chemins 'fonctionnellement' équivalents (i.e., ayant le même effet matériel), à savoir tous les chemins entre 2 objets ayant le même composé; ceci permet de caractériser les différentes manières équivalentes (e.g. du point de vue temps et force) dont un message sera transmis par un chemin entre deux composants.

Pour modéliser des composants ayant existé dans le système mais disparus au moment de la modélisation, on peut introduire dans la catégorie un objet zéro tel qu'il existe un et un seul lien de cet objet vers n'importe quel autre objet (objet initial dans la terminologie de Mac Lane). On dit alors que l'on a une catégorie avec zéro.

Exemples mathématiques de catégories

Un groupe est un exemple d'une "petite" catégorie (avec un unique objet, à savoir l'unité du groupe). Une relation d'équivalence ou une relation d'ordre sur un ensemble E définit aussi une petite catégorie: ses objets sont les éléments de E, et les flèches relient des paires d'éléments en relation. Par ailleurs les structures mathématiques d'un certain type déterminent de "grandes" catégories: la catégorie Ens des ensembles et des applications entre eux; la catégorie des espaces topologiques et des applications continues entre eux; la catégorie des groupes et de leurs homomorphismes;...; et aussi la catégorie dont les objets sont les 'petites' catégories et les liens les foncteurs entre elles, c'est-à-dire les applications qui respectent la structure de graphe et la loi de composition.