Dans un graphe G, on ne peut pas toujours définir une composition "interne" de ses flèches pour en faire une catégorie. Mais on peut étendre le graphe en une catégorie en y ajoutant les chemins.

Plus précisément, la catégorie des chemins de G, notée C(G), a pour objets les sommets du graphe et pour flèches de A vers B les chemins (r1, r2, ...,rn) de A vers B.

La composition des chemins se fait par concaténation:

(r0, r1, ...,rn): A ® B et (s0, s1, ...,sm):

B ® C se composent en (r0,r1,...,rn, s0,s1,...sm) de A dans C.

 

Toute catégorie K étant aussi un graphe, la catégorie de ses chemins C(K) lui est associée. Celle-ci a généralement plus de flèches que K, et K se déduit de C(K) en identifiant deux chemins de A vers B ayant le même composé dans K.

Inversement, une catégorie C peut être construite à partir d'un graphe G et de la donnée de certains couples (c,c') de chemins de mêmes extrémités "à identifier": la catégorie C est la catégorie quotient de la catégorie des chemins C(G) par la relation identifiant les deux chemins c et c' de ces couples, de sorte que C soit la "plus grande" catégorie dans laquelle ces deux chemins ont le même composé. On dit alors que C est déterminée par la donnée de générateurs, les flèches de G, et de relations, les couples de chemins à identifier.

Dans les catégories représentant des systèmes naturels, les relations traduiront le fait que les chemins à identifier sont "fonctionnellement" équivalents au sens qu'ils transmettent les informations avec la même force et/ou le même délai de propagation. Pour modéliser cette situation, le graphe G des générateurs sera pondéré (ou étiqueté), c'est-à-dire qu'on associe à chaque flèche un nombre ou une suite de nombres qu'on appelle son poids; et les relations identifieront 2 chemins de mêmes extrémités lorsque les sommes (ou les produits) des poids de leurs composants sont égales. La catégorie C qu'on en déduit aura pour liens les classes de chemins de même poids total, et elle est pondérée au sens suivant:

Une catégorie est pondérée si c'est un graphe pondéré et si le poids d'un composé fg est la somme des poids de ses facteurs f et g.

 

 Un exemple concret

La construction précédente peut servir à étudier les itinéraires possibles entre certaines villes. Pour cela, on part du graphe étiqueté G formé de 7 objets (disons des villes) A, A1, A2, A3, A4, A5 et B et de 10 flèches (des routes) entre elles, chacune étiquetée par un nombre représentant sa longueur:

(f1,2): A ® A1, (f2,3): A1 ® A2,

(f3,5): A2 ® A3, (f4,4): A3 ® B,

(f5,6): A ® A4, (f6,8): A4 ® B,

(f7,7): A ® A5, (f8,7): A5 ® B,

(f9,12): A ® B, (f10,5): A ® A2.

 

   On associe à ce graphe la catégorie de ses chemins: elle a les mêmes objets, mais elle a 20 flèches, obtenues en ajoutant à G les flèches suivantes

 (f1,f2): A ® A2, (f1, f2, f3): A ® A3,

(f1, f2, f3, f4): A ® B,

(f2, f3): A1 ® A3,

(f2, f3, f4): A1 ® B, (f3,f4): A2 ® B,

(f5, f6) et (f7, f8): A ® B,

(f10, f3): A ® A3, (f10, f3, f4):A® B.

 

Ces nouvelles flèches sont étiquetées en prenant pour longueur la somme des longueurs de leurs facteurs. La composition de 2 chemins successifs se fait en les mettant bout à bout, par exemple:

f1.(f2, f3) = (f1, f2, f3), et (f1, f2).(f3, f4) = (f1, f2, f3, f4).

Dans cette catégorie, on a plusieurs liens de même longueur entre 2 villes, tels (f1, f2) et f10 entre A et A2. Cependant pour voyager en un temps donné entre 2 villes, ce qui importe n'est que la longueur du chemin. C'est pourquoi on peut construire une nouvelle catégorie C, en identifiant 2 chemins de même longueur, à savoir

 

(f1, f2) = f10, (f1, f2, f3) = (f10, f3),

(f1, f2, f3, f4) = (f5, f6) = (f7, f8).

Explicitement, C a les mêmes objets, mais seulement 15 flèches, les 5 flèches pondérées ajoutées au graphe initial G étant

(f23,8): A1 ® A3, (f34,9): A2 ® B,

(f123,10): A ® A3,(f234,12):A1® B, (f1234,14): A ® B.

La composition y est définie par:

f1.f2 = f10, f1.f23 = f123, f1.f234 = f1234, f2.f3 = f23, f2.f34 = f234,

f3.f4 = f34, f5.f6 = f1234, f7.f8 = f1234, f123.f4 = f1234

f10,f3 = f123, f10.f34 = f1234, f123.f4 = f1234.

(il n'y a pas d'autres couples composables). On vérifie que la longueur d'un composé est la somme des longueurs de ses composants. Dans cette catégorie, f1234 et f9 sont 2 liens de A vers B de longueur différentes (14 et 12).

 

 La catégorie des neurones

La catégorie des neurones modèle un système neuronal à un instant donné t. Elle est construite par la donnée de générateurs et de relations comme suit.

Nous définissons d'abord le graphe G de ses générateurs: ses sommets sont les neurones, une flèche de N vers N' correspond à une synapse ayant N pour neurone pré-synaptique et N' pour neurone post-synaptique; 2 neurones peuvent être reliés par une, plusieurs ou 0 synapses. L'activité du neurone N au temps t est déterminée par sa fréquence instantanée d'impulsions. Le graphe G est pondéré, le poids d'une synapse de N vers N' étant la force de cette synapse de N vers N', reliée à la probabilité que l'activation de N se propage à N' et au temps de propagation de cette activation. Nous adoptons la convention usuelle que l'activité d'un neurone N se déduit de la somme des activités des neurones Ni auxquels il est lié, pondérées par la force des synapses liant Ni à N.

La catégorie des chemins C(G) sur le graphe G a pour objets les neurones, mais les liens de N vers N' sont les chemins formés de synapses successives entre neurones telles qu'une activation de N puisse se propager à N' le long de ce chemin; des chemins successifs sont composés par concaténation. Elle a une pondération étendant celle de G. Deux chemins de N vers N' y ont la même force si l'activation de N engendre les mêmes effets sur N' qu'elle se propage le long de l'un ou de l'autre des deux chemins.

La catégorie des neurones Neur est déduite de la donnée des flèches de G comme générateurs, et des relations sur C(G) identifiant deux chemins de N vers N' qui ont la même force. Donc ses objets sont encore les neurones, mais les liens de N vers N', appelés chemins multisynaptiques, sont les classes consistant de chemins de N vers N' de même force. C'est une catégorie pondérée, le poids d'un lien étant la force de l'un des chemins y appartenant.