Les systèmes naturels complexes tels des systèmes biologiques, sociaux ou neuronaux, sont des systèmes ouverts (ils ont des échanges avec leur environnement), et leur configuration et leur organisation varient avec le temps, avec destruction ou éjection de certains composants, et émergence de nouveaux éléments, qu'ils viennent de l'extérieur ou soient engendrés internement. Ainsi on ne peut pas restreindre leur étude à celle de transformations sur un espace fixe quelle que soit sa dimension.

Les Systèmes Evolutifs (ou SE) introduits par Ehresmann et Vanbremeersch (1987) modélisent un tel système en décrivant ses états successifs à chaque instant de son échelle de temps, et les transformations entre ceux-ci.

La configuration donnant l'état à un instant t est représentée par une catégorie( Kt ) qui décrit l'état du système au sens de son organisation interne (définie par ses composants et leurs relations à l'instant t); c'est une notion "structurelle", ou relationnelle, et non spatio-temporelle comme en Physique (plus proche de Leibniz que de Newton).

La dynamique décrira les changements intrinsèques de cette configuration, et non les déplacements du système dans l'espace tel qu'ils seraient vus par un observateur externe. Ainsi le mouvement ne sera pris en compte que par ses répercussions internes, lorsqu'il modifie les relations entre certains composants, e.g. sous l'effet d'un transfert d'énergie (réactions chimiques ou métaboliques) ou d'informations.

Le changement du système de t à t' est modélisé par un foncteur partiel k(t,t') de la catégorie Kt en t vers la catégorie Kt' en t', appelé transition de t à t'. (Un foncteur entre catégories est une application compatible avec leurs structures de graphe et leurs lois de composition.) L'idée est que cette transition permet de repérer ce que les composants en t sont devenus en t', comme on pointerait sur deux photos successives d'un organisme où se trouve une même cellule distinguée. Le foncteur n'est que "partiel" pour tenir compte de la suppression possible de certains composants (mort de la cellule). Remarquons que, si on suppose que les catégories Kt sont des catégories avec zéro, ce foncteur s'étend en un foncteur "total" en appliquant les éléments supprimés entre t et t' sur l'objet zéro de Kt'.

Ceci est différent des modèles usuels où, quand on parle disons d'une cellule dans un organisme, on considère que cette cellule reste la "même" aux différents instants. Ici cette cellule sera représentée non par un objet mais par la suite de ses états successifs. Formellement, si un objet Nt de Kt a une image par le foncteur transition, on considère que cette image est le "nouvel état" de Nt en t' ; on le notera généralement par Nt' (en conservant la même lettre N). Si le foncteur n'est pas défini pour cet objet (ou l'applique sur le zéro), on dira que Nt n'est pas représenté (ou a disparu) en t'.

Remarquons que deux composants différents en t peuvent "se réunir" pour avoir le même état en t' (la transition n'est pas supposée injective).

De même, la transition associe à un lien gt de Nt vers N't un lien de Nt' vers N't', noté gt', représentant son nouvel état en t', à condition que les deux composants et le lien existent encore en t'. On suppose que cette transition respecte la composition au sens suivant: si deux liens successifs gt et kt dans Kt sont maintenus en t', leur composé l'est aussi et son nouvel état est alors le composé des deux liens gt' et kt'.

Pour que les états successifs de Nt soient définis de manière unique, il faut que son nouvel état en t" puisse être calculé soit directement en allant de t à t", soit indirectement en passant par des instants intermédiaires où le composant est représenté. On suppose donc que les transitions sont transitives, à savoir:

1. Si Nt admet Nt' pour nouvel état en t', et si Nt' a un nouvel état Nt" en t">t', alors Nt" est aussi l'image de Nt par la transition de t à t".

2. Et inversement, si Nt a un état Nt' en t' et un état Nt" en t", alors forcément Nt' a aussi un état en t", et cet état est Nt" . Remarquons toutefois que Nt pourrait avoir un état Nt" en t" sans être représenté en t', ce qui traduit une disparition momentanée.

 Au total nous définissons un Système Evolutif (abrégé en SE) par les données suivantes::

1. Une partie (finie ou infinie) de la droite R des temps,

2. Une catégorie Kt (état en t) pour chacun de ses instants t.

3. Un foncteur partiel k(t,t') de Kt vers Kt' (transition) pour tout t' > t, ces transitions étant transitives au sens ci-dessus.

  Connaissant les transitions, on pourra définir un composant N du SE comme étant une orbite du SE, à savoir une suite maximale d'objets (Nt) dans les catégories Kt , telle que Nt' , pour t' > t, soit l'état de Nt en t'. Dire que la suite est maximale signifie qu'elle contient tous les objets reliés entre eux par une transition, sans que ceci n'exige que N ait un état Nt pour chaque temps t de la "vie" du système. En effet, N peut naître plus tard, mourir plus tôt, et éventuellement disparaître pendant certaines périodes; penser par exemple au SE formé par les habitants d'un pays et dans lequel un individu peut aller faire un voyage à l'étranger puis revenir.