Il est important de pouvoir distinguer les composants d'un système naturel complexe, tel un système biologique, selon leur ordre de complexité (qui influence aussi leur temporalité). L'idée est qu'un objet "complexe" est un objet muni d'une organisation interne en composants plus élémentaires coopérant pour déterminer ses interactions. Par exemple, une protéine peut être simplement considérée en tant que telle; mais si l'on veut étudier comment elle agit, il faudra la caractériser par ses atomes, la manière dont ils s'enchaînent et les relations topologiques entre eux décrivant son repliement dans l'espace. Bien que, dans une catégorie, les objets semblent indifférenciés, nous allons voir comment un objet complexe peut y être défini comme la colimite (ou "recollement") du pattern d'objets liés représentant son organisation interne. 

 

 

 

Patterns et liens collectifs

L'organisation interne d'un objet complexe N y sera représentée par le pattern formé de ses propres constituants et des liens distingués entre eux qui assurent que ces constituants agissent en synergie ("matière et forme").

 

Dans une catégorie, un pattern P est modélisé par la donnée d'une famille d'objets Ni et de liens distingués entre ceux-ci. On appelle lien collectif du pattern vers un autre objet N' une famille de liens individuels (fi) de chaque Ni vers N' corrélés par les liens distingués du pattern.

Les liens collectifs représentent les actions collectives (émission d'un message, transfert d'énergie ou d'information) de tous les Ni agissant en synergie, en respectant les contraintes imposées par leurs liens distingués, et qui ne pourraient pas être réalisées par les objets du pattern agissant séparément. La coopération peut être temporaire, comme dans un groupe de personnes qui décident de se réunir pour réaliser une tâche particulière. Mais si elle dure longtemps, leur association peut prendre une identité propre, et devenir institutionnalisée dans le système par la formation d'un objet d'ordre supérieur N, qui "recolle" le pattern au sens qu'il existe un lien collectif "canonique" du pattern vers N et que les liens de N vers tout autre objet N' correspondent biunivoquement aux liens collectifs du pattern vers N'.

 

 

 

 Colimite d'un pattern

Catégoriquement, cet objet recollant le pattern (s'il existe) sera modélisé par la colimite (ou limite inductive) du pattern dans la catégorie. On dit qu'un objet N est la colimite, ou le recollement, du pattern P si: 1. il existe un lien collectif canonique (ci) du pattern vers N, et 2. chaque lien collectif (fi) du pattern vers n'importe quel N' se recolle en un unique lien f de N vers N' (en formule: fi = ci.f pour chaque i ).

La colimite peut ne pas exister, mais si elle existe elle est unique (à un isomorphisme près); dans ce cas, nous disons aussi que le pattern est une assemblée cohérente et que sa colimite représente un objet d'ordre supérieur à ses composants, qui résume l'activité de cette assemblée.. .

La colimite peut être vue comme étant une actualisation de la potentialité des composants à agir ensemble de manière cohérente, donc un moyen de les intégrer dans un tout homogène (par exemple, la protéine en tant que telle), au lieu que leurs comportements soient ceux d'une somme d'éléments disparates. Dans les systèmes naturels où les liens opèrent avec une certaine "force", la formation d'une colimite est caractérisée de deux manières:

1. D'une manière "structurelle locale", les liens distingués sont renforcés, de sorte que l'action collective devient plus efficace et s'opère plus rapidement, par restriction des degrés de liberté des objets pour assurer une meilleure coopération; 2. d'une manière "fonctionnelle universelle", par caractérisation de ses actions globales sur les autres objets du système (qui correspondent aux liens collectifs du pattern).

Par exemple, une molécule est la colimite du pattern formé par ses atomes avec les liaisons chimiques entre eux qui déterminent sa configuration spatiale. 

 

 

Décompositions d'un objet complexe

Lorsqu'un pattern a une colimite, la situation peut aussi être considérée "du haut vers le bas": un objet N qui est la colimite d'un pattern peut être vu comme un objet complexe (ou encore comme une hyperstructure au sens de Baas) dont le pattern représente une organisation interne en composants plus élémentaires, et le pattern sera appelé une décomposition de N. Mais alors que le pattern détermine univoquement sa colimite (si elle existe), l'inverse n'est pas vrai car le même objet peut avoir plusieurs décompositions non équivalentes. Par exemple, le même amino-acide peut être obtenu à partir de différent codons (dégénérescence du code génétique). Intuitivement, la colimite "oublie" les détails de l'organisation du pattern et ne retient que les actions collectives qu'il peut réaliser, lesquelles peuvent être les mêmes pour d'autres patterns plus ou moins différents.

 

 

 Comparaison avec la somme

Le rôle des liens distingués dans le pattern est essentiel: ils imposent la "forme" du recollement et permettent l'émergence d'actions collectives efficaces, transcendant les actions individuelles des composants. Sans eux on aurait seulement un amas amorphe ("somme" des constituants). Notre modèle permet de mesurer la cohérence et les contraintes introduites par ces liens en comparant la colimite au simple amalgame des objets, obtenu en "oubliant" ces liens, lequel est modélisé par leur somme.

 La somme (ou coproduit) de la famille (Ni ) est la colimite du pattern formé par les mêmes objets Ni mais sans aucun lien distingué entre eux. (Penser à la différence entre le comportement d'une foule inorganisée, et à celui qu'elle adopte lorsqu'elle est dirigée par des leaders.) Elle classifie les actions individuelles des objets du pattern, tandis que la colimite classifie les actions collectives rendues possibles lorsqu'ils coopèrent au moyen de leurs liens distingués.

On a un lien comparaison de la somme vers la colimite (à savoir celui qui recolle les liens canoniques des divers Ni vers la colimite); il mesure quelles sont les contraintes qui sont imposées aux différents composants par leur participation à une action commune, et donc détermine les nouvelles propriétés émergeant pour l'objet complexe relativement à ses composants. Par exemple, le tétramère hémoglobine peut être représenté par la colimite d'un pattern spécifiant sa configuration spatiale; le lien comparaison mesure la différence entre le taux d'oxygénation de ses 4 unités séparées et le taux de fixation de l'oxygène du tétramère.