Dans un système naturel hiérarchique, un objet "complexe" admet une décomposition en un pattern P de composants "plus élémentaires". Le problème se pose alors de caractériser, parmi les liens entre deux objets complexes, ceux qui proviennent de liens entre les composants de ces objets (de sorte qu'ils sont "réductibles" au niveau inférieur); et d'expliquer comment d'autres liens dits "complexes" peuvent émerger au niveau supérieur.

 

 

Gerbes entre patterns

Les interactions entre objets de deux patterns P et P' qui sont compatibles avec les liens distingués par ces patterns sont modélisées par la notion d'une gerbe.

Etant donné deux patterns P et P' dans une catégorie, une gerbe de P vers P' est un ensemble maximal de liens entre les objets de ces patterns vérifiant les conditions suivantes:

 

1. Pour tout objet Ni de P, il existe au moins un lien de cet objet vers un objet de P' ; et s'il en existe plusieurs, ceux-ci sont corrélés par un zig-zag de liens distingués de P'.

2. Les liens obtenus en composant un lien de la gerbe à gauche avec un lien distingué de P ou à droite avec un lien distingué de P' appartiennent aussi à la gerbe.

Ainsi une gerbe est une famille de liens des objets de P vers ceux de P', bien corrélés par les liens distingués des deux patterns et tel que chaque objet de P ne transmette à P' que des informations ou contraintes compatibles avec les liens distingués de P'.

 

 

Liens simples

Si les patterns P et P' admettent des colimites N et N' respectivement dans la catégorie, une gerbe de P vers P' se recolle en un lien unique de N vers N' qu'on appelle lien (P,P')-simple.

Un tel lien simple de N vers N' transmet seulement des informations déjà médiatisées au travers des composants de N et N'; autrement dit, il "institutionnalise" la gerbe, sans ajouter aucune information non accessible au niveau des patterns. Par exemple, en Embryologie, l'induction d'une population de cellules par une autre correspond à la formation d'un lien simple.

Le composé de deux liens simples recollant des gerbes adjacentes est encore un lien simple: si f est (P,P')-simple et si f' est (P',P")-simple, alors leur composé ff' est (P,P")-simple. Par contre un lien (P,P')-simple peut ne pas être (Q,Q')-simple pour d'autres décompositions Q de N et Q' de N'.

 

 

Sous-pattern représentatif

S'il existe une gerbe d'un pattern P vers un sous-pattern Q, on dit que Q est un sous-pattern représentatif de P; dans ce cas P et Q ont la même colimite (si elle existe). Ceci signifie que les actions collectives de P sont entièrement déterminées par celles de Q, les éléments de P qui ne sont pas dans Q n'imposant aucune contrainte supplémentaire. L'exemple typique est celui des représentants d'une nation: chaque électeur vote pour une liste de candidats qui défendent la même politique.