Dans un système naturel avec des composants de divers niveaux (e.g., atomes, molécules, cellules, ... dans un organisme), les composants de niveau inférieur sont recollés pour former des composants plus complexes, et le processus s'itère, ces composants plus complexes se recollant pour en former d'encore plus complexes. La notion d'une colimite itérée permet de modéliser cette situation.

Dans une catégorie, on a dit que N est un objet complexe admettant P pour décomposition si P est un pattern d'objets liés dont N est la colimite. Dans certains cas, chaque objet Ni de ce pattern P admet lui-même une décomposition en un pattern Pi. Quelle relation a-t-on alors entre N et les composants des objets complexes Ni ? En particulier, dans quel cas peut-on traduire les corrélations imposées aux Ni par leurs liens "horizontaux" distingués dans P en contraintes imposées sur leurs composants, de sorte que N se "réduise" à la colimite d'un pattern adéquat reliant ces objets plus simples?

 

 

 

Colimites itérées et ramifications

 Dans une catégorie, si N est la colimite d'un pattern P d'objets liés Ni et si chaque Ni est la colimite d'un pattern Pi, on dit que N est la colimite 2-itérée de (P, (Pi)), ou que (P,(Pi)) est une ramification de N de longueur 2.

 La ramification représente une organisation interne à 2 niveaux qui détermine complètement les liens de N vers les autres objets (simples ou complexes). Un objet complexe pouvant avoir plusieurs décompositions, une colimite itérée peut a fortiori avoir plusieurs ramifications non-équivalentes.

Plus généralement, on définit par récurrence:

Une colimite k-itérée A est la colimite d'un pattern dont chacun des objets liés est lui-même une colimite (k-1)-itérée. Une k-ramification de cet A est la donnée d'une décomposition de A et d'une (k-1)-ramification de chacun des composants de cette décomposition.

Ceci signifie que A admet une sorte de structure fractale, dont les composants à chaque étage intermédiaire se ramifient eux-mêmes, mais avec en plus des corrélations entre ces ramifications provenant des contraintes introduites par les liens "horizontaux" distingués entre ces composants à leur propre niveau. Ceci donne une grande souplesse de comportement. Chaque décomposition de A attribue des valeurs particulières ("variables") à certains traits caractéristiques de A, de sorte que ses composants jouent le rôle des "cases" dans un cadre au sens de Minsky. Une k-ramification donne plus de possibilités pour remplir ces cases, chacune permettant des choix variés, et le même processus se répétant aux k niveaux intermédiaires. Autrement dit, le nombre de degrés de liberté augmente à chaque niveau. Par exemple, A pourrait représenter le menu dans un restaurant; ce menu est d'abord décrit par sa composition générale: entrée, viande, fromage et dessert, ou (autre décomposition) soupe, poisson, fruits. Mais on peut alors préciser les choix, par exemple tomates ou jambon en entrée, poulet ou mouton comme viande, etc...

 

Réduction d'une colimite itérée

Soit N un objet ayant une ramification (P,(Pi)) de longueur 2. Le problème de la "réduction de la colimite itérée" est de savoir si l'on peut "sauter" le niveau intermédiaire représenté par P et représenter N comme la simple colimite d'un grand pattern R ayant directement pour objets ceux des différents patterns Pi avec les liens distingués dans ces Pi et, en plus, d'autres liens traduisant les contraintes imposées par P en contraintes portant sur les composants des Pi.

 On montre (Ehresmann & Vanbremeersch 1996) que ceci est possible si tous les liens distingués dans P sont des liens simples recollant des gerbes entre les Pi ; dans ce cas N est la colimite du pattern R contenant tous les patterns Pi ainsi que les liens de toutes ces gerbes. Inversement, si certains liens de P sont "complexes", N peut ne pas avoir de telle décomposition.

On donne facilement des exemples concrets montrant la différence entre colimite itérée réductible ou non-réductible. Par exemple on peut comparer une "Europe des nations" et ce que serait une "Europe des peuples" où les nations se fondraient dans une entité plus large. Dans le système modélisant la société occidentale, avec ses individus et ses différents groupes sociaux, la seconde serait une simple colimite du pattern formé par les citoyens des différents états; par contre la première est une colimite itérée non réductible à une simple colimite d'individus, car tous les liens institutionnels doivent y être médiatisés par les états membres.