Dans un système naturel complexe, on peut distinguer toute une hiérarchie de types de composants: individus, groupes d'individus coopérant de sorte à réaliser une tâche qu'ils ne pourraient pas remplir isolément, groupes de groupes, etc. Par exemple, dans un organisme: atomes, molécules, cellules, tissus. Une telle structure hiérarchique est modélisée comme suit dans le cadre catégorique.

 Un Système Evolutif est appelé Système Hiérarchique (SH) si chacune des catégories représentant ses états successifs est hiérarchique au sens suivant: les objets de la catégorie sont répartis en une suite de niveaux de complexité 0, 1,..., m, de sorte que tout objet N du niveau n+1 soit la colimite d'au moins un pattern formé d'objets liés Ni du niveau n.

L'objet N joue un double rôle ("Janus"): il est "complexe" relativement à ses composants Ni du niveau inférieur n, mais il est "simple" lorsqu'il intervient lui-même comme l'un des composants d'un objet du niveau supérieur n+2. Ainsi une cellule, dans un organisme, sera simple en tant que composant d'un tissu, mais complexe en tant qu'elle admet pour décomposition le pattern formé par ses organelles et ses populations macro-moléculaires.

La hiérarchie d'un SH est de nature descriptive, avec imbrication des niveaux, car il y a des liens "montants", des niveaux inférieurs aux niveaux supérieurs, mais il peut aussi y avoir des liens "descendants". Un objet peut ainsi recevoir des informations à la fois d'objets de niveau inférieur ou supérieur, et en réponse envoyer des messages à tous les niveaux, pour autant que les contraintes énergétiques le permettent. Le nombre de niveaux peut augmenter au cours du temps; ainsi, dans un système nerveux, l'apprentissage consistera à mémoriser des comportements de plus en plus complexes.

Par exemple, une entreprise a une telle structure hiérarchique: Les objets de niveau 0 représentent ses employés. Les objets plus complexes représentent des départements, des petites unités productives chargées d'une tâche particulière, jusqu'aux niveaux directoriaux supérieurs. Les liens entre les membres d'un département représentent les canaux par lesquels ils échangent des informations et collaborent pour réaliser leur travail en commun. Les niveaux supérieurs peuvent envoyer des ordres aux niveaux inférieurs, mais ils peuvent aussi dépendre des résultats obtenus par ces niveaux inférieurs: le travail d'un département construisant une machine est interrompu si certains des composants nécessaires ne sont pas produits en quantité suffisante dans les chaînes inférieures.

 

Ramifications d'un objet

Dans un SH, un objet N du niveau n+1 a au moins une décomposition P du niveau n, mais il peut en avoir plusieurs. Par ailleurs N admet aussi une organisation interne plus complexe du niveau n-1. En effet, chacun des objets Ni de P est lui-même la colimite d'un pattern Pi du niveau n-1, de sorte que N est une colimite 2-itérée de (P,(Pi)); autrement dit, il a au moins une 2-ramification aboutissant au niveau n-1. Cette ramification donne une organisation interne à deux étages de N.

En continuant à descendre, N admet des organisations internes à plusieurs étages définies par récurrence, formées pour chaque k £ n par des k-ramifications aboutissant au niveau n-k+1; pour les décrire, à chaque niveau il faut tenir compte à la fois des liens "verticaux" canoniques reliant une colimite à ses composants inférieurs, et des liens "horizontaux" formés par les liens distingués entre ceux-ci. Une k-ramification de N permet de reconstruire N à partir du niveau n-k+1 en k étapes. Mais, dans certains cas, N peut aussi être re-construit directement à partir de ce niveau k en une seule étape, en sautant les niveaux intermédiaires, de sorte que le niveau d'un objet ne réfléchit pas sa complexité "réelle".

Ordre de complexité d'un objet

On appelle ordre de (complexité de) l'objet N de niveau n+1 le plus petit p inférieur ou égal à n pour lequel il existe un pattern d'objets liés de niveau p dont N soit la colimite. Et N est dit q-réductible pour tout q supérieur ou égal à son ordre.

Par définition, tout objet du niveau n+1 est n-réductible. Mais dans quel cas est-il p-réductible, pour un p < n ? Pour répondre, il faut distinguer différentes sortes de liens dans un SH.

Etant donnés deux objets de niveau n+1, un lien entre eux est dit n-simple s'il est le recollement d'une gerbe entre deux patterns de niveau inférieur ou égal à n. Il est dit n-complexe s'il est obtenu par combinaison de liens n-simples recollant des gerbes non-adjacentes, de sorte qu'il ne soit pas lui-même n-simple. De plus, il peut exister des liens qui ne sont ni n-simples ni n-complexes, et qui représentent des contraintes indépendantes des niveaux inférieurs.

Avec ces définitions, on montre le résultat suivant (Ehresmann & Vanbremeersch, 1996): Un objet N du niveau n+1 est (n -1)-réductible s'il admet une décomposition en un pattern d'objets Ni du niveau n dans lequel tous les liens distingués sont des liens (n-1)-simples recollant des gerbes adjacentes entre les Ni. Autrement, N peut ne pas être (n-1)-réductible. Ce résultat s'étend aux niveau inférieurs.

SH basés

Le résultat précédent montre les limites du programme réductionniste strict, qui suppose que chaque objet est réductible, en une étape, au plus bas niveau, i.e. est d'ordre 0. Toutefois dans la plupart des SH naturels, il y a une sorte de réduction aux niveaux inférieurs, mais en plusieurs étapes et avec émergence à chaque niveau de nouvelles propriétés traduisant des propriétés holistiques du niveau précédent. Ces systèmes sont modélisés par les SH basés.

Un SH est k-basé si, pour tout n plus grand que k, ses liens de niveau n+1 sont n-simples ou n-complexes, i.e., aucune contrainte externe n'est ajoutée dans le passage à partir du niveau k. Dans un tel SH, non seulement chaque objet est reconstruit en plusieurs étapes à partir du niveau k par une ramification (ce qui est vrai dans tout SH), mais les liens sont aussi reconstruits par étapes puisqu'ils recollent des gerbes du niveau précédent ou sont des composés de tels liens simples. Cependant, dès qu'il existe des liens complexes, ces reconstructions dépendent non des seules propriétés 'locales' des composants de niveau k de l'objet ou du lien (comme le voudrait le programme réductionniste), mais aussi de la structure globale de chaque niveau successif.

 En effet, montrons-le d'abord pour un lien complexe gg' de N vers N", de niveau k+1, qui est le composé d'un lien (Pi,P')-simple g de N vers N' et d'un lien (Q',Pj)-simple g' de N' vers N". Les propriétés de ce lien se déduisent des propriétés locales des deux gerbes de niveau k que g et g' recollent, et du fait que les patterns P' et Q' ont la même colimite N'. Cette dernière condition signifie que les deux patterns imposent à chaque objet de niveau égal ou inférieur à k les mêmes contraintes, ce qui prend en compte le niveau k tout entier. Ainsi les contraintes imposées à N et N" par le lien complexe gg' ne peuvent pas être réduites à des contraintes locales imposées sur leurs composants dans Pi et Pj, mais émergent de la structure globale du niveau k.

Maintenant soit A un objet du niveau k+2. Il peut être reconstruit à partir du niveau k comme colimite 2-itérée d'une ramification (R,(Pi)); mais, si certains liens distingués de R sont complexes, il s'ensuit qu'ils imposent à A des propriétés émergeant de la structure globale de niveau k, et ne provenant pas des seules propriétés locales des composants de A des niveaux inférieurs.

Ainsi, pour les SH k-basés, nous pouvons parler d'un "réductionnisme émergent" (précisant la notion introduite par Mario Bunge). En particulier pour les SH 0-basés, le langage non-linéaire du système sera entièrement décodé par la donnée des termes primitifs, à savoir les "atomes" du niveau 0 et de leurs liens, et de la "syntaxe" qui indique comment les recoller pour construire progressivement les objets et liens des niveaux supérieurs en plusieurs étapes avec, à chaque niveau, émergence de nouvelles propriétés reposant sur la structure globale du niveau précédent.