Objets multifaces

Dans un système complexe, les mêmes fonctions peuvent être effectuées par des patterns structurellement différents. Les objets multifaces modélisent cette situation.

Tandis qu'un pattern d'objets liés dans une catégorie a au plus une colimite (à un isomorphisme près), inversement un objet complexe N peut être colimite de plusieurs décompositions en patterns, éventuellement difficiles à déduire l'un de l'autre à leur propre niveau.

 

On dira que deux décompositions P et Q de N sont équivalentes s'il existe une gerbe entre P et Q se recollant en l'identité de N (i.e., si cette identité est un lien (P,Q)-simple). Dans le cas contraire, on dit que P et Q sont des décompositions de N non-équivalentes.

N est un objet multiface s'il admet au moins deux décompositions non-équivalentes. Le "balancement" entre deux telles décompositions peut être vu comme une fluctuation aléatoire dans son organisation interne qui ne modifie pas sa fonctionnalité au niveau supérieur: des microétats différents conduisent au même macroéquilibre. Un exemple d'un tel balancement est le passage entre des génotypes non-équivalents d'une espèce (i.e., des génotypes avec des allèles différents menant au même phénotype).

 

Liens complexes

Il n'y a pas de difficulté pour composer des liens simples recollant des gerbes adjacentes. Mais l'existence d'objets multifaces entraîne qu'il peut exister des composés de liens simples qui ne sont pas simples.

 

En effet, si nous considérons un lien (P,P')-simple f de N vers N' et un lien (Q',P")-simple f' de N' vers N", lorsque N' est un objet multiface dont P' et Q' sont des décompositions non-équivalentes. Dans la catégorie il doit exister un composé ff' de ces deux liens, mais il n'y a pas de raison pour qu'il recolle une gerbe de P vers P"; on dit alors que c'est un lien (P,P")-complexe de N vers N".

Plus généralement, si N et M sont des objets complexes, un lien complexe de N vers M sera le composé d'une suite de liens simples recollant des gerbes entre patterns non-adjacents sans qu'il soit simple (il ne recolle pas une gerbe entre décompositions de N vers M). Un composé de liens complexes qui n'est pas simple est un lien complexe.

Ainsi un lien complexe relie deux objets non pas directement via leurs composants plus élémentaires, mais par l'intermédiaire d'objets multifaces dont chacun intervient avec deux décompositions non-équivalentes; le balancement entre ces décompositions fait émerger de nouvelles propriétés relativement aux gerbes.

Par exemple les communications entre auteurs et abonnés d'un Journal forment un lien complexe, médiatisé par le balancement entre rédacteurs et éditeurs. Plus mathématiquement, un espace topologique admet des réalisations géométriques en plusieurs complexes simpliciaux; les liens simples correspondent aux applications simpliciales et les liens complexes aux applications continues.

 

Principe de Multiplicité

L'existence d'objets multifaces est une des caractéristiques des systèmes complexes qui assurent leur plasticité. En particulier, elle conduit à l'existence de liens complexes.

On dit qu'une catégorie vérifie le Principe de Multiplicité si certains de ses objets sont multifaces. Ce principe de multiplicité se précise dans un système hiérarchique, où il recouvre 2 affirmations:

 

1. Il existe des objets de niveau n+1 qui sont n-multifaces (au sens d'admettre plusieurs décompositions non-équivalentes de niveau n).

2. Un objet du niveau n peut appartenir à plusieurs patterns ayant des colimites différentes de niveau n+1.

 

Ces conditions sont par exemple vérifiées dans le système hiérarchique modélisant un système neuronal, comme le montre Edelman qui parle de Principe de Dégénérescence (par analogie avec la "dégénérescence" du code génétique où deux codons différents codent le même amino-acide).

Si N est un objet multiface de niveau n+1, pour chaque k inférieur ou égal à n on définit la k-entropie de N comme le nombre de ses ramifications non-équivalentes aboutissant au niveau k .

 

L'entropie donne une mesure de la flexibilité de l'objet N, au sens du nombre de descriptions fonctionnelles qu'on peut en donner à partir du niveau k. Mais (contrairement à Rosen), nous ne considérons pas qu'elle détermine sa complexité "réelle", qui est mesurée par l'ordre de complexité de N.