Résumé. Un système complexe auto-organisé, tel un système biologique ou social, est caractérisé par le fait que sa dynamique est engendrée par un réseau de régulations compétitives, chacune opérant comme un système simple (au sens newtonien) à un certain niveau de complexité et à sa propre échelle de temps. Une dialectique dépendant des contraintes temporelles s'instaure entre elles, ponctuée par des fractures locales avec changement de régime. Ces systèmes sont capables d'anticipation et d'adaptation grâce au développement d'une mémoire. Les Systèmes Evolutifs avec Mémoire en donnent un modèle mathématique, basé sur la Théorie des catégories, permettant l'étude des phénomènes d'émergence. On montre que ce modèle répond à la définition donnée par Rosen pour un "organisme".

 

 

1. Introduction

 Dans un article antérieur [InterSymp'95, Baden-Baden 1995], nous avons comparé 2 modèles pour des systèmes complexes naturels, la théorie C8 de Chandler [WESS Comm. 1, 1991; 2, 1992] et le modèle mathématique appelé SEM de Ehresmann & Vanbremeersch [EV: Bull. Math. Biol. 49, 1987; J. of Systems Ana., Mod., Simul., 1996]. Ici nous n'allons pas les rappeler, mais nous proposons quelques réflexions sur l'approche que ces modèles offrent pour caractériser les systèmes hiérarchiques complexes auto-organisés, e.g., vivants. La thèse que nous allons défendre est que ces systèmes peuvent être caractérisés par les propriétés suivantes:

 1. La dynamique est engendrée par un réseau de régulations interconnectées, éventuellement collaboratives ou conflictuelles, chacune opérant comme un système simple (newtonien) à un niveau de complexité particulier, avec sa propre échelle de temps. Le processus d'équilibration entre elles n'est pas dirigé centralement, mais dépend du jeu de contraintes structurales temporelles. Il peut conduire à l'émergence de structures plus complexes.

2. Une mémoire interne, qui se développe au cours du temps, permet une sélection des opérations locales basée sur une anticipation de leurs résultats, et des réparations au cas où une opération ne peut pas être réalisée au bon moment.

3. Des structures de niveau supérieur ont différentes implémentations aux niveaux inférieurs (brisure de symétrie dans le passage des niveaux supérieurs aux inférieurs), ce qui assure stabilité structurelle et plasticité.

 Nous analyserons ces propriétés et leurs conséquences et nous indiquerons comment elles sont modélisées dans un SEM.

 

2. Caractérisation de la complexité

 Le paradigme newtonien, valable pour des systèmes "simples" (ou "mécanismes"), représente un système par ses états instantanés successifs (définis à l'aide d'observables dans l'espace des phases) et les règles de changement entre eux (lois physiques). Mais la relation entre les systèmes Newtoniens et les systèmes naturels émergents tels des systèmes vivants n'est pas connue (plusieurs descriptions partielles incommensurables).

Nous proposons une approche différente pour étudier des systèmes naturels complexes (disons, biologiques, sociaux ou culturels). Ces systèmes sont des systèmes évolutifs autonomes avec une hiérarchie de composants, ils ont des échanges organisés avec leur environnement proche, et peuvent s'adapter à des conditions changeantes.

 

a) Formellement, l'organisation du système à un instant donné serait déterminée par ses composants actuels de tout niveau et les relations entre eux. Un composant de niveau supérieur dans la hiérarchie correspond à une agrégation d'un pattern spécifique de composants de niveaux inférieurs liés entre eux. Par exemple dans une cellule, nous distinguons ses composants de niveaux croissants, atomes, molécules, macromolécules, organites, avec les relations chimiques et topologiques entre eux.

Le changement d'organisation provient des opérations archétypes: "naissance, mort, scission, collusion": adjonction de nouveaux éléments et destruction ou rejet de certains composants (échanges avec l'environnement), recollement de patterns de composants élémentaires entre eux pour en former de plus complexes (synthèse d'une protéine), décomposition de composants d'ordre supérieur.

 

b) Mais cette description est purement formelle, au sens qu'aucun observateur ne pourrait donner une telle description complète du système. En fait, la dynamique est engendrée par un réseau de régulations locales coordonnées et éventuellement conflictuelles, et un observateur pourrait seulement décrire séparément certaines de ces régulations.

Dans un SEM, nous considérons que chaque régulation locale est dirigée par un sous-système, appelé un CoRégulateur (CR). Un CR consiste en un pattern formé d'un petit nombre de composants du système, appelés ses agents, qui appartiennent à un même niveau de complexité et agissent en coopération selon certains liens distingués. Le CR opère un processus par étapes, à une échelle de temps spécifique. Il peut réaliser certains types d'opérations (nous les appelons ses "stratégies"), conduisant à des réactions engendrant ou consommant de l'énergie qui forment ou brisent des relations de recollement. Le résultat usuel d'une stratégie (s'il n'y a pas d'obstruction externe) peut être anticipé, et le CR peut reconnaître s'il a bien été obtenu ou non.

Les stratégies possibles pour les CR et leurs résultats forment la "mémoire". Les CR inférieurs peuvent n'avoir qu'une stratégie possible, auquel cas il se développe un processus cyclique. Mais pour des CR supérieurs, il peut exister un grand choix de stratégies permettant plus de flexibilité. Par exemple dans la cellule le promoteur d'un gène est un CR inférieur, dont la seule stratégie consiste en déclenchant ou non la réplication du gène selon que l'opérateur du gène est occupé ou non. Des CR supérieurs (e.g. dans un système neuronal) peuvent apprendre de nouvelles stratégies, développant ainsi la mémoire.

A chaque étape, le choix de la stratégie par le CR dépend des informations sur le système qui sont observables par ses agents à cet instant, et sur le résultat anticipé de la stratégie tel qu'il est mémorisé. Ces informations forment ce que nous appelons le paysage actuel du CR. Remarquons que ce paysage n'est pas un sous-système du système, mais une description partielle et plus ou moins déformée du système qui peut être donnée par des observateurs au niveau du CR. La dynamique du paysage pendant une étape (une fois que la stratégie a été choisie et jusqu'à sa réalisation) peut être modélisée par un simple système physique (e.g. par des systèmes d'équations différentielles satisfaites par des observables appropriés).

 

c) Mais la stratégie choisie peut ne pas avoir le résultat anticipé, à cause de la compétition avec les autres CR qui caractérise les systèmes complexes et rend leur comportement global imprédictible. En effet, bien que leurs paysages soient incommensurables, les différents CR dépendent tous des mêmes ressources globales, et il y a des interactions directes et indirectes entre eux. A un instant donné, leurs stratégies actuelles sont toutes répercutées au système, et il faut un processus d'équilibration entre elles.

Une complexité organisée émerge, bien que sans contrôle central, de ce processus d'équilibration entre différentes complexifications locales, extrêmement sensible aux contraintes temporelles. Comme dit plus haut, chaque CR opère à sa propre échelle de temps et à son propre niveau, mais ses opérations reposent sur des informations ou des réactions provenant au moment considéré d'autres CR. La justesse des informations utilisées pour choisir puis réaliser la stratégie dépend des délais de propagation des liens qui les transmettent aux agents, et des empans de stabilité des composants intervenant dans ces opérations. Ainsi il faut respecter certaines contraintes structurales temporelles, reliant des délais de propagation et empans de stabilité à la période du CR (longueur moyenne de ses étapes). Bien que ces contraintes laissent de la flexibilité, il y a une limite aux distorsions (perturbations) qui sont tolérables sans destruction du processus.

 

d) Le processus d'équilibration (ou "jeu entre les stratégies") écarte la stratégie d'un CR dont les contraintes ne sont pas satisfaites, de sorte qu'une "fracture" est causée à son paysage, imposant un changement de stratégie pour la réparer. Dans la description du paysage par un système simple, une telle fracture peut correspondre à l'introduction d'une singularité (bifurcation ou comportement chaotique), ou imposer un changement complet de représentation. Par exemple, dans une cellule, si la réplication de l'ADN n'est pas achevée à temps, la protéine p53 bloque temporairement le CR dirigeant l'entrée dans la M-phase de division.

Le processus d'équilibration, qui peut conduire à l'émergence d'objets d'ordre supérieur et de nouvelles propriétés, est facilité par la robustesse et la plasticité des systèmes complexes: La préservation d'un composant de niveau supérieur peut ne pas être affectée par un changement assez progressif de son organisation interne des niveaux inférieurs; et une stratégie de niveau supérieur est mémorisée par la classe d'invariance d'opérations de niveau inférieur, qui peuvent être implémentées par une instance quelconque de la classe, dépendant du contexte (brisure de symétrie dans le passage d'un niveau supérieur à un niveau inférieur). 

 

 

3. Systèmes Evolutifs avec Mémoire

 Les SEM représentent un modèle mathématique dans lequel les caractéristiques de la complexité que nous avons soulignées peuvent être représentées. Ce modèle est basé sur la théorie des catégories, enrichies pour prendre en compte les quantifications de type énergétique ou temporel.

 a) La théorie des catégories est généralement présentée comme un domaine purement abstrait, permettant une classification générale des structures, qu'elles soient mathématiques ou non. Une catégorie peut être décrite comme un graphe orienté avec plusieurs flèches (appelées morphismes ou, ici, "liens") entre 2 sommets, à un chemin duquel nous associons un lien bien défini qui est son "composé". Cette loi de composition détermine une classification des chemins du graphe en classes d'invariance formées par les chemins ayant le même composé.

Le processus de recollement (agrégation) est modélisé par l'opération "colimite": la colimite d'un pattern d'objets liés est un objet dont les liens vers tout objet A sont en correspondance biunivoque avec les liens collectifs du pattern vers A. Ces liens collectifs modélisent les opérations qui peuvent être effectuées par les objets du pattern agissant collectivement selon leur liens distingués dans ce pattern; et la colimite modélise un objet plus complexe effectuant par lui seul ces mêmes opérations; c'est donc un invariant pour la classe des patterns qui effectuent les mêmes actions. Si cette classe contient des patterns "non-équivalents" (en un sens bien défini), on dit que la catégorie vérifie le Principe de Multiplicité (son intérêt sera vu plus loin).

L'étude des colimites est liée aux problèmes de connectivité et de cohérence qui deviennent bien plus riches et complexes dans les catégories que dans de simple graphes (généralisant la théorie de Ramsey). Et elle est à la base de notre description d'une hiérarchie (un objet du niveau n+1 étant une colimite d'un pattern de niveau n) et de l'émergence.

 b) Sous cette forme générale, les catégories semblent très abstraites. Mais elles sont quantifiables si les liens sont pondérés par des "observables" (e.g., force du lien, ou son délai de propagation), appelées leur poids. Dans ce cas, la loi de composition est souvent déterminée de sorte que le poids du composé d'un chemin soit une fonction donnée des poids de ses facteurs.

Pour modéliser des systèmes évolutifs, nous devons introduire le Temps. Le système ne sera pas représenté par une unique catégorie mais par ce que nous appelons un Système Evolutif (SE): c'est une famille de catégories, chacune représentant l'organisation du système avec ses composants et leurs liens pondérés à un instant donné t. Le changement d'organisation entre t et un instant ultérieur t' est représenté par un foncteur "transition". Ce foncteur peut être construit par "complexification relativement à une stratégie", processus qui décrit ce que devient une catégorie par adjonction ou suppression d'objets et de colimites de patterns (modélisant les échanges avec l'extérieur, les opérations internes de synthèse et scission, et éventuellement l'émergence de nouvelles structures).

 c) Un SEM est défini comme un SE dans lequel sont distingués: - une "Mémoire" représentée par un sous-SE hiérarchique, pouvant se développer au cours du temps par émergence de nouveaux objets; - et un réseau de CR qui sont des sous-SE à échelles de temps discrètes.

Ce modèle permet de représenter le processus par étape d'un CR avec, à chaque étape: formation du paysage, sélection d'une stratégie adaptée (à l'aide de la Mémoire) et sa réalisation, et comparaison du paysage anticipé (obtenu par un processus de complexification) avec le paysage effectivement obtenu à la fin de l'étape.

Les contraintes structurales temporelles d'un CR sont exprimées sous forme d'inégalités entre les délais de propagation des liens vers les agents, la période du CR et les empans de stabilité des objets du paysage. Nous avons analysé leur rôle dans le processus d'équilibration, et comment leur non-respect peut conduire à différentes sortes de fractures et dyschronies, plus ou moins facilement réparables. En particulier, nous avons étudié plus explicitement la "dialectique" entre 2 CR hétérogènes, disons un CR d'un niveau supérieur et un CR d'un niveau inférieur avec une période bien plus courte. (Cf. [EV].)

 

 

d) Le processus d'équilibration est rendu plus flexible grâce au Principe de Multiplicité (cf. ci-dessus). Ce principe (qui entraîne une brisure de symétrie dans le passage d'un niveau supérieur à un niveau inférieur) a d'importantes conséquences, à la base de la robustesse et de la plasticité d'un SEM, à savoir: - Un objet complexe peut émerger comme colimite d'un pattern et prendre ensuite une identité et persistance propre, avec un empan de stabilité qu'on peut mesurer. - Le processus de complexification conduit à l'émergence de nouvelles propriétés et interactions, représentées par des "liens complexes" bien définis (ce sont des composés de "liens simples" recollant des gerbes non-adjacentes de liens du niveau inférieur). - Une suite de complexifications n'est pas toujours réductible à une unique complexification relative à une stratégie englobant les stratégies successives. (Nous reviendrons sur le sens de cette propriété.)

L'évolution du système sous l'effet de ces opérations peut conduire à l'émergence d'objets d'ordres strictement croissants, en particulier pour développer la Mémoire. Ainsi, dans un système neuronal il y a formation d'assemblées de neurones synchrones (au sens de Hebb) qui émergeront comme de nouveaux objets stables d'ordre supérieur, à partir desquels on peut former de nouvelles assemblées d'assemblées, .... Les processus cognitifs d'ordre supérieur seront mémorisés sous cette forme.

 

 

 

 4. Attributions de causalité dans un SEM

 Rosen a proposé de distinguer les systèmes simples et complexes d'après leur comportement causal: pour les simples ("mécanismes"), la causalité matérielle d'Aristote peut être séparée de ses causalités efficientes et formelles, et la causalité finale est rejetée. Dans les systèmes complexes, ces causalités sont mélangées, et on a une certaine "anticipation". Cette distinction se reflète dans notre modèle.

a) D'abord, examinons la situation relative à un CR particulier. Pendant une de ses étapes régulières (i.e., sans fracture), nous avons vu que la dynamique de son paysage, après qu'une stratégie a été choisie, peut être modélisée par un système simple; sa cause matérielle est l'état initial, sa cause formelle est la stratégie choisie et sa cause efficiente est le processus de réalisation de cette stratégie.

Mais le choix de la stratégie et l'équilibration entre les différents CRs reposent sur plusieurs facteurs dépendant du système entier et non des seules informations accessibles au CR. Nous pouvons classifier les relations entre ces facteurs causaux selon la description de la causalité dans les systèmes complexes proposée par Chandler [1995, non publié], de la source de l'effet sur le taux des constantes intervenant dans le processus: de bas en haut, par suite de l'émergence de structures d'ordre supérieur, des interactivités ou comportements venant du processus de complexification: de haut en bas, lorsque des CR supérieurs imposent une stratégie à un CR inférieur; de l'intérieur vers l'extérieur par recours à la mémoire et respect des contraintes structurales temporelles des CR; de l'extérieur vers l'intérieur, par suite des contraintes externes et des échanges (e.g., d'énergie) avec l'environnement.

 b) Si nous considérons la situation pendant une suite d'étapes du CR, la dynamique du paysage évolue par une suite de complexifications, qui généralement ne peuvent pas être remplacées par une unique complexification du premier paysage (cf. plus haut). Ceci signifie que nous ne pouvons pas choisir directement une stratégie sur le premier paysage qui conduirait au dernier des paysages, mais nous devons d'abord construire un second paysage, puis choisir une stratégie sur celui-ci pour obtenir le troisième paysage, et ainsi de suite jusqu'au dernier paysage. En terme de causalité, il s'ensuit que les causes matérielles, formelles et efficientes doivent être "mises à jour" à chaque étape, et sont donc complètement mélangées dans la transition globale allant du premier au dernier paysage, pendant laquelle le CR ne fonctionne donc plus comme un système simple. En particulier, l'émergence de nouveaux objets augmentant la dimension du système peut exiger l'introduction de nouveaux observables. Ainsi le comportement à long terme du paysage, même restreint à son propre niveau, n'est plus simple et peut révéler une a-causalité apparente.

 c) Mais si le système est considéré dans son ensemble, les interactions causales entre tous ses niveaux se fondent continuellement dans le flux dynamique. Nous pouvons dire qu'un SEM est fermé pour la causalité efficiente, au sens que le choix des stratégies en réponse aux contraintes externes, et l'équilibration entre elles, sont des processus internes, essentiellement contrôlés par des conditions temporelles. De plus nous pouvons attribuer quelque "finalité" au choix des stratégies, puisque leur résultat (lorsqu'il est atteint sans fracture) peut être "anticipé" à partir de la mémoire. Donc un SEM se qualifie comme un "organisme" dans la terminologie de Rosen, avec localement et temporairement un comportement anticipatoire grâce à la mémoire, et une adaptabilité venant du Principe de Multiplicité.

Ce résultat pourrait surprendre: nous disons que les SEM offrent un modèle relationnel, incorporant le temps, et dans lequel une sorte de causalité finale et de "fonction" sont présentes; or Rosen a dit qu'il ne peut pas y avoir un tel modèle. Y a-t-il une contradiction? Non, car dans un SEM le temps n'intervient pas comme un simple paramètre (comme en Physique), mais comme un processus dynamique complexe, multiple: chaque CR opère avec sa propre temporalité, et l'équilibration joue sur les différences et contraintes introduites par leurs différentes échelles de temps; finalement la Mémoire, qui d'une certaine façon réunit le passé et le présent, permet certaines - plus ou moins exactes - anticipations du futur, de sorte qu(e cette anticipation d)'un état futur peut influencer l'état présent. Ainsi il n'y a pas besoin d'une nouvelle science pour étudier la Vie, les lois physiques sont les mêmes pour tous, et il suffit d'une réflexion plus élaborée sur la nature du Temps et de l'Organisation.

  

5. Conclusion

Les "mécanismes" et les "organismes" vérifient les mêmes lois physiques. Mais la complexité des derniers provient du fait que leur dynamique est modulée par les interactions coopératives et/ou compétitives entre un réseau de systèmes simples incommensurables, avec des échelles de temps différentes entraînant des contraintes structurales et temporelles spécifiques, chacun opérant comme un agent efficient à l'aide d'une mémoire centrale qui se développe par la mémorisation des expériences passées.